Matrizes – Produto de Matrizes e inversas

MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES

Antes de definirmos a multiplicação de matrizes, vejamos como é definido o produto de uma linha por uma coluna. Considere as matrizes A_2×3 e B_3×2 onde tomamos a linha i de A e a coluna j de B, ou seja:

Definimos como o produto da linha i pela coluna j o valor a_j1 . b_1j + a_i2 . b_2j + a_i3 . b_3j, ou seja, adicionarmos os resultados obtidos pela multiplicação ordenada dos elementos da linha i pelos elementos da coluna j.

Podemos observar que se não houver a mesma quantidade de elementos não se pode efetuar tal produto. Dessa maneira, definimos então o produto de matrizes.

Considere duas matrizes A_m×n e B_n×k. O produto de A por B é a matriz C, onde cada elemento C_ij é o produto da linha i da matriz A pela coluna j da matriz B.

Observe o método para calcularmos o produto do produto de:

Onde:

O produto da linha 1 de A pela coluna 1 de B é ;

O produto da linha 1 de A pela coluna 2 de B é ;

O produto da linha 2 de A pela coluna 1 de B é ;

O produto da linha 2 de A pela coluna 2 de B é .

Portanto :

Vejamos mais alguns exemplos:

 calcule o produto de  pela identidade de ordem 2.

Resolução:

Fazendo o cálculo pelo método apresentado, temos.

Assim:

Considere:

.

Calcule a matriz .

Resolução: 

Fazendo o cálculo pelo método apresentado, temos:

Assim:

Observação

• Observemos que para existir o produto de A por B, a quantidade de elementos da linha de A e a quantidade de elementos da coluna de B devem ser iguais. Em outras palavras, dizemos que o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B para existir o produto A . B. Dessa maneira a matriz produto AB tem o mesmo número de linhas de A, e o mesmo número de colunas de B.

• O produto de uma matriz A pela identidade, é igual a própria matriz A. Podemos inclusive associar a ideia de que a matriz identidade representa, no produto de matrizes, a mesma função que o número 1 na multiplicação de números reais, ou seja, é o elemento neutro da multiplicação.

• O produto de matrizes não é necessariamente comutativo, isto é, não é necessariamente igual a .

Voltemos ao exemplo:

Calculando , temos

e calculando agora obtemos:

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 

01. (FGV) Uma fábrica decide distribuir os excedentes de três produtos alimentícios  e  a dois países da América Central,  e  As quantidades, em toneladas, são descritas mediante a matriz : 

Para o transporte aos países de destino, a fábrica recebeu orçamentos de duas empresas, em reais por tonelada, como indica a matriz :

a) Efetue o produto das duas matrizes, na ordem que for possível. Que elemento da matriz produto indica o custo de transportar o produto A, com a segunda empresa, aos dois países?

b) Para transportar os três produtos aos dois países, qual empresa deveria ser escolhida, considerando que as duas apresentam exatamente as mesmas condições técnicas? Por quê?

Resolução:

02. (IFCE) Considere as matrizes

A matriz M · N tem em sua segunda coluna elementos cujo produto vale
a) 56.

b) 28.

c) 0.

d) 48.

e) -8.

Resolução: B

Considerando que A = M · N e que cada elemento de A seja da forma aij, podemos escrever que os elementos da segunda coluna são:

Portanto, o produto pedido será:

a¹². a²² . a³² = -1 . (-7) . 4 = 28

03. (ESC. NAVAL)  Sejam A e B’ a transposta de B. O produto da matriz A pela matriz B’ é 

 Abaixo a figura que representa as Alternativas para sua resposta: 

 Abaixo a figura que representa a resolução cujo Gabarito é D: 

04. (Uece) Para cada inteiro positivo n, defina a matriz 

A soma dos elementos da matriz produto P = M¹ . M² . M³ … M²¹ é 

a) 229.

b) 231.

c) 233.

d) 235.

 A figura abaixo representa a resolução cujo Gabarito é C: 

Escrevendo as matrizes e fazendo as multiplicações:

É possível perceber que a cada multiplicação, o resultado será sempre o mesmo para os elementos a¹¹, a²¹ e a²². Quanto ao elemento a¹², este será a soma dos elementos correspondentes nas matrizes multiplicadas. Assim, o elemento a¹² da matriz P é igual à soma a¹² = 1 + 2 + 3 + 4… + 21, ou seja, uma PA de 21 elementos e razão 1. A soma de todos os elementos desta PA será ( 1+21/2) . 21 = 231.

Logo, a matriz P será: 

e a soma de seus elementos é 1 + 231 + 0 + 1 = 233.

MATRIZ INVERSA

Sendo A uma matriz de ordem m e Iᵐ a matriz identidade, de ordem m, define-se A-¹, como matriz inversa de A somente se:

A . A-¹ = A-¹ . A = Iᵐ

Exemplo:

logo:
c = 1
d = 0
2a + 3c = 0
2b + 3d = 1
a = -3/2
b = ¹/²

Então, a matriz inversa de A é dada por:

Propriedades:

1. Se A é inversível, então A-¹ é única;
2. Se A é inversível, então (A-¹)-¹ = A;
3. A inversa da matriz identidade é ela mesma.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 

Abaixo duas figuras que representam Exercícios Resolvidos; 

Acima duas figuras que representam Exercícios Resolvidos.