FUNÇÃO DO 2º GRAU – Concavidade, discriminante, raízes e forma fatorada

INTRODUÇÃO

Função Polinomial do 2º Grau ou Função Quadrática é toda
função f: ℝ → ℝ, dada por f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c ∈ ℝ e a ≠ 0.

Exemplo:

f(x) = x² – 5x + 6

f(x) = -x² + 4x + 3

f(x) = 2x² – 18

f(x) = -3x² + 5x

f(x) = x²

Observação

O gráfico de uma função do 2^o grau é uma curva aberta chamada parábola, com eixo de simetria paralelo ao eixo y.

Lembre-se: a forma fatorada do trinômio do 2^o grau para f(x) = ax² + bx + c é f(x) = a(x-x₁)(x-x₂), onde x₁ e x₂ são as raízes da equação ax² + bx + c = 0.

CONCAVIDADE

Dada a função f(x) = ax² + bx + c, com a, b, c Î IR e a ≠ 0, sua concavidade será:

INTERSEÇÕES COM OS EIXOS

Eixo y → x = 0

f(x) = ax² + bx + c

f(0) = 0 + 0 + c

f(0) = c

logo o ponto é (0,c)

No gráfico:

O coeficiente c representa a interseção da parábola com o eixo y.

Eixo x → y = 0 (zero ou raiz da função)

f(x) = ax² + bx + c

0 = ax² + bx + c

ax² + bx + c = 0 → Equação do 2^o grau, logo, podemos admitir três situações distintas:

• 1º Caso: ∆ > 0 (Duas raízes reais e distintas)

Exemplo:

A parábola intercepta o eixo em dois pontos, (x’,0) e (x’’,0).

2º Caso: ∆ > 0 (Duas raízes reais e iguais)

Exemplo:

A parábola intercepta o eixo x em um único ponto (x’,0).

3º Caso: ∆ > 0  (Não existe raiz real)

Exemplo:

A parábola não intercepta o eixo x.

GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 2º GRAU

Exemplo 1:

Esboce o gráfico da função y = x² – 4x + 3

Concavidade para cima pois a = 1 > 0.

Intersecções com os eixos:

Eixo x → (0, c) = (0, 3)

Eixo y → x² – 4x + 3 = 0

               ∆ = 16 – 12 = 4

(∆ > 0 duas raízes reais e distintas)

Gráfico

Exemplo 2:

Esboce o gráfico da função y = -x² + 2x – 3

Concavidade para baixo pois a = -1 > 0.

Intersecções com os eixos:

Eixo y → (0, c) = (0, -3)

Eixo y → -x² + 2x – 3 = 0

                  ∆ = 4 – 12

                  ∆ = – 8

  ➘➘➘

  ➚➚➚

y = x² + 2x – 3

x = 3 → y = -3² + 2(3) – 3

 y = -6

Vamos precisar atribuir um valor para x para encontrarmos um outro ponto.

Quando os valores descobertos não forem suficientes para o esboço do gráfico podemos utilizar a tabelinha (atribuição de valores) como auxílio.

Gráfico:

IMAGEM

A imagem de uma função é a projeção do seu gráfico sobre o eixo y.

Então, nos exemplos acima teremos:

No exemplo 1 citado anteriormente teremos:

Im = {y  IR / y ≤ -1}

No exemplo 2 citado anteriormente teremos:

Im = {y  IR / y ≤ -3}

Logo, podemos generalizar para:

RESUMO GERAL

A figura acima representa A Função tem dois zeros reais diferentes, isto é, a parábola corta o eixo x em dois pontos distintos.

A figura acima representa A função tem um zero real duplo, isto é, a parábola tangencia o eixo x.

A figura acima representa A função não tem zeros reais, isto é, a parábola não corta o eixo x.