PROGRESSÃO ARITMÉTICA – SOMA DE N TERMOS

Um pouco de história

Para manter seus alunos ocupados um professor mandou que somassem todos os números de um a cem. Ele esperava que eles passassem bastante tempo buscando resolver essa tarefa. Em poucos instantes um aluno de sete ou oito anos chamado Gauss deu a resposta correta: 5.050.

Como ele fez a conta tão rápido?

Gauss observou que se somasse o primeiro número com o último, 1 + 100, obtinha 101.

Se somasse o segundo com o penúltimo, 2 + 99, também obtinha 101.

Somando o terceiro número com o antepenúltimo, 3 + 98, o resultado também era 101.

Percebeu então que, na verdade, somar todos os números de 1 a 100 correspondia a somar 50 vezes o número 101, o que resulta em 5.050.

E dessa forma, Gauss inventou a fórmula da soma de progressões aritméticas ainda criança. Gauss viveu entre 1777 e 1855 e foi sem dúvida um dos maiores matemáticos que já existiram. É considerado por muitos, o maior gênio matemático de todos os tempos, razão pela qual também é conhecido como o Príncipe da Matemática.

SOMA DOS N TERMOS

Dada uma sequência qualquer (a₁, a₂, a₃, …, a_n–1, a_n, …), indicamos por S_n a soma dos n primeiros termos:

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + … + a_n–1 + a_n

Em uma PA a soma dos n primeiros termos é dada por:

Demonstração:

Vamos escrever a soma  S_n  duas vezes, da seguinte maneira:

Note que, em cada expressão entre parênteses temos a soma de dois termos equidistantes dos extremos. Mas, sabemos que a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. Substituindo em cada parcela, temos:

Como queríamos demonstrar.

PROGRESSÃO ARITMÉTICA – SOMA DE N TERMOS

Exemplo:

A) Calcular a soma dos 40 primeiros termos da PA (2, 5, 8, …)

Solução:

Temos que a₁ = 2 e r = 3.

Vamos agora, encontrar o quadragésimo termo da PA.

a₄₀ = a₁ + (40 – 1) . r = 2 + 39 . 3 = 119

Podemos agora encontrar a soma dos 40 primeiros termos da PA:

B) Calcule a soma dos dez primeiros termos da PA (1, 5, 9, 13, …).

Solução:

Temos que a₁ = 1 e r = 4.

Vamos agora, encontrar o décimo termo da PA.

Podemos agora encontrar a soma dos 10 primeiros termos da PA:

C) Calcule a soma dos múltiplos de 11 compreendidos entre 1 e 1000.

Solução:

Devemos descobrir quantos são os múltiplos de onze nessa sequência e para isso devemos usar o último termo com essa propriedade.

Observe que entre 1 e 1000 temos diversos múltiplos de 11, sendo o primeiro igual ao próprio 11 e o último 990. Dessa forma devemos descobrir que posição o número 990 ocupa na sequência abaixo:

11, 22, 33, …, 990

Note que trata-se de uma PA com razão igual a 11. Aplicando o termo geral, temos:

a_n= a₁ + (n – 1).r

990 = 11 + (n – 1).11

990 = 11 + 11n – 11

990 = 11n

n = 90

Dessa forma, sabemos que estamos somando 90 termos e nos resta apenas aplicar a fórmula da soma: