Relações Métricas no Triângulo Retângulo

ELEMENTOS

Considere um triângulo retângulo ABC, com ângulo reto em A.

Nesse triângulo retângulo ABC temos:

 é a hipotenusa.

, são os catetos.

 é a altura relativa a hipotenusa.

 é a projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusa.

 é a projeção ortogonal do cateto b sobre a hipotenusa.

As seguintes relações métricas são verdadeiras:

Vamos agora demonstrar essas relações.

Note que, 

Traçando a altura  e dividindo em dois triângulos, temos:

Dessa forma, podemos observar que os três triângulos são semelhantes dois a dois.

Semelhança 1:

Como ∆ABC ~ ∆DBA, temos que c/a = n/c em que c² = a . n 

Além disso, temos também que b/a = h/c em que b . c = a . h 

Semelhança 2:

Usando agora ∆ABC ~ ∆DAC, temos que b/a = m / b em que b² = a . m 

Semelhança 3:

Usando agora ∆DBA ~ ∆DAC, temos que h/n = m/n = em que h² = m.n

Resumindo:

b² = a . m e c² = a . n

(o quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção do cateto)

h² = m . n

(o quadrado da altura é igual ao produto das projeções)

b · c = a · h

(o produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura)

Uma consideração importante é que uma das formas de obtermos a fórmula do Teorema de Pitágoras vem dessas semelhanças. Note que somando, membro a membro, as duas relações a seguir, vem:

Colocando a em evidência, temos:

b² + c² = a .(m + n)

Sabemos que m + n = a. Dessa forma, obtemos b² + c² = a².

(A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa – Teorema de Pitágoras)

TERNOS PITAGÓRICOS

Chamamos de ternos pitagóricos os ternos de números naturais que atendem ao Teorema de Pitágoras.

Observe abaixo alguns exemplos:
3, 4 e 5.
6, 8 e 10.
9, 12 e 15.

5, 12 e 13.
10, 24 e 26.

Podemos notar que existe uma relação de proporcionalidade entre elementos dos ternos 3, 4 e 5 e os elementos dos ternos 6, 8 e 10 e do terno 9, 12 e 15.

Dizemos então que estes três ternos são da mesma família. Observe que ainda poderíamos obter mais ternos desta família apenas multiplicando o terno 3, 4 e 5 por outros números naturais.

Chamaremos de primitivo um terno pitagórico em que os três números são primos entre si. Os primeiros ternos pitagóricos primitivos são (3, 4 e 5), (5, 12 e 13), (7, 24 e 25), (8, 15 e 17) entre outros…

FÓRMULA DE EUCLIDES

a = m² − n², b = 2mn e c = m² + n², esse terno a, b e c é pitagórico mas é primitivo se, e só se, m e n são números naturais primos entre si e m > n.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 

01. Em um triângulo retângulo os catetos medem 7 cm e 24 cm. Calcule:

a) A medida da hipotenusa.
b) A medida da altura relativa a hipotenusa.

Resolução:

Para encontrar a hipotenusa usaremos que b² + c² = a².

72 + 242 = a²
49 + 576 = a²
625 = a²
Logo, a = 25.

Para encontrarmos a medida da altura relativa a hipotenusa usaremos que b . c = a . h.

Dessa forma, 7 . 24 = 25 . h ⇒ 168 = 25 . h ⇒ h = 6,72.

02. Determine os valores de m e n na figura abaixo:

Resolução:

Note que podemos encontrar o valor de m, a partir da relação b² = a.m e conhecendo o valor de m o cálculo de n é
imediato, pois m + n = 16.

8² = 16 . m
64 = 16 . m
m = 4

Com isso, temos que n = 12.

03. Calcule o valor de n no triângulo abaixo:

Resolução:

Podemos encontrar o valor de n usando h² = m . n.

15² = 9 . n
225 = 9 . n
n = 25