Matrizes – Teoria, Nomenclatura e Operações Básicas

INTRODUÇÃO

Denomina-se matriz m x n, a tabela de números dispostos em m linhas, filas horizontais, e n colunas, filas verticais.

Exemplo:

Uma matriz A pode ser representada por:

com m, n IN*

Chamamos de a_ij o elemento da matriz A que se encontra na linha i e na coluna j.

Logo, o elemento da matriz A que está na 1^a linha e 1^a coluna é o elemento a₁₁.

O elemento da matriz A que está na 2^a linha e 3^a coluna é o elemento a₂₃ e assim sucessivamente.

Exemplo:

LEI DE FORMAÇÃO DE UMA MATRIZ

É uma maneira de representarmos uma matriz utilizando apenas uma ou mais relações entre os elementos i e j.

Exemplo:

Determine a matriz A_2×2 onde:

MATRIZES ESPECIAIS 

MATRIZ NULA

É a matriz onde todos os seus elementos são iguais a zero.

MATRIZ QUADRADA

É a matriz que tem m = n, isto é, o número de colunas é igual ao número de linhas.

Exemplo:

Para efeito de nomenclatura, costuma-se dizer matriz de ordem m.

Chama-se traço da matriz quadrada a soma dos elementos da diagonal principal.

MATRIZ IDENTIDADE (MATRIZ UNIDADE)

É a matriz quadrada de ordem n, onde todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1, e todos os outros elementos são iguais a zero.

Exemplo:

A lei de formação de uma matriz Identidade é:

lij = { 1, se i = j

        { 0, se i =̷ j 

MATRIZ OPOSTA

É a matriz B cujos elementos são simétricos dos elementos correspondentes de A.

(B = -A)

Exemplo:

MATRIZ TRANSPOSTA (A^T)

Matriz transposta da matriz A_{m x n} é a matriz que obtemos trocando ordenadamente de posição as linhas, pelas colunas.

Ou seja, se A_{m x n} então A^t_{n x m}.

Exemplo:

MATRIZ SIMÉTRICA

É a matriz onde a_ij = a_ji . ” i,j., ou seja , A = A^t.

Exemplo:

IGUALDADE DE MATRIZES

Duas matrizes A e B, de mesma ordem, são ditas iguais, quando tiverem todos os elementos correspondentes iguais.

OBERVAÇÃO

Elementos correspondentes são elementos de mesma posição, porém em matrizes distintas.

Exemplo 1:

Se , então:

Exemplo 2:

Determine os valores de x e y na expressão abaixo:

_________

COMO TELEFONEMAS E MATRIZES PODE CAIR NO ENEM?

Em muitas provas é comum encontrarmos algumas questões envolvendo tabelas compostas por linhas e colunas. O cálculo do número de telefonemas que três pessoas dão entre si pode ser facilmente explicitado na forma matricial. Desta maneira fica mais fácil realizar uma leitura geral e interpretar corretamente a situação.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

01. (FGV) As meninas 1 = Adriana, 2 = Bruna e 3 = Carla falam muito ao telefone entre si. Na matriz M, abaixo, cada elemento a_ij é igual ao número de telefonemas que i deu para j no mês de setembro. No mês de setembro, quem mais telefonou e quem mais recebeu ligações são, respectivamente:

A) Bruna e Carla.

B) Adriana e Carla.

C) Carla e Bruna.

D) Adriana e Bruna.

E) Bruna e Adriana.

Resolução: E

Adriana ligou 0 + 13 + 10 = 23

Bruna ligou 18 + 0 + 6 = 24

Carla ligou 9 + 12 + 0 = 21

Adriana recebeu 0 + 18 + 9 = 27

Bruna recebeu 13 + 0 + 12 = 25

Carla recebeu 10+ 6 + 0 = 16

Gabarito: E

OPERAÇÕES COM MATRIZES

ADIÇÃO

Dadas duas matrizes A e B, de mesma ordem, chama-se de matriz soma de A com B a matriz C, onde seus elementos são iguais a soma dos elementos correspondentes de A e B.

Exemplo:

SUBTRAÇÃO

A diferença entre duas matrizes A e B (A – B) é a matriz obtida, somando a matriz A com a oposta de B.

Exemplo:

OBSERVAÇÃO

Só podemos somar e subtrair matrizes de mesma ordem e o resultado será da mesma ordem das matrizes dadas.

MULTIPLICAÇÃO

Matriz por número real

Dados a matriz A_{m x n} e o número real k, obtemos a matriz kA, multiplicando todos os elementos de A, pelo número real k.

Exemplo 1:

Exemplo 2: