Progressões geométricas

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

Na sequência (5, 10, 20, 40, 80, 160,…) podemos notar que multiplicando cada termo por 2 obtemos o termo seguinte:

5 x 2 = 10

10 x 2 = 20

20 x 2 = 40

40 x 2 = 80

80 x 2 = 160

Sequências com essa característica, em que sempre multiplicando o mesmo valor se obtém os próximos termos, receberão a partir de agora um tratamento especial. Elas serão chamadas de progressões geométricas, como definiremos a seguir.

DEFINIÇÃO

Chamamos progressão geométrica (P.G.) a toda sequência onde, multiplicando uma mesma constante a cada termo, obtemos o termo seguinte. Esta constante é denominada razão da P.G., e será representada pela letra q.

A P.G. (5, 10, 20, 40, 80, 160) tem razão q = 2.

Temos, por definição, que uma P.G. é uma sequência , com o
primeiro termo igual à a(a1 = a), dada por uma lei de recorrência da forma:

Ou seja, é uma sequência da forma:

(a, a.q, a.q², a.q³, a.q⁴, …)

Ou ainda, é possível escrever uma PG da seguinte forma: 

Com 3 termos ➜ ( a/q, a, aq)

Com 4 termos ➜ ( a /q², a / q, aq, aq²) e assim por diante…

Exemplos:

é uma P.G. crescente, com   e  .

é uma P.G. decrescente, com  e .

é é uma P.G. decrescente, com   e  

é uma P.G. crescente, com   e .

é uma P.G. estacionária com   e  .

é uma P.G. alternante com   e  .

FÓRMULA DO TERMO GERAL DA P.G

Como foi definido, podemos escrever a P.G. multiplicando cada termo pela razão q, para obter o termo seguinte. Assim teremos:

(a₁, a_1.q, a₁.q², a₁.q³, a₁.q⁴, …, a₁.q^n–1, …)

Observe que:

a₂ = a₁.q¹,

a₃ = a₁.q²,

a₄ = a₁.q³,

a₅ = a₁.q⁴

.

.

.

an = ? 

Note que, o expoente de q é sempre uma unidade menor do que o índice do termo geral à esquerda.

Dessa forma, temos

a_n = a₁.q^n–1

Exemplos:

1. Em uma PG de primeiro termo a₁ = 2 e q = 3, o termo geral pode ser dado por:

a_n = a¹.q^{n – 1} = 2 . 3^{n – 1}

Caso desejássemos encontrar o sexto termo, teríamos:

a₆ = 2.3^{6 – 1} = 2.3⁵ = 486

PROPRIEDADES DOS TERMOS

1ª PROPRIEDADE:

Uma sequência de três termos não nulos é uma PG se, e somente se, o quadrado do termo central é igual ao produto dos outros dois.

Isso é equivalente a escrever:

Sendo a, b e c três números não nulos, então

(a, b, c) é PG ↔ b² = a.c

Demonstração:

De fato, como a, b e c são não nulos, temos que

(a, b, c) é PG ↔ , = ↔ b² = a.c

Portanto, para a, b e c são não nulos, (a, b, c) é PG ↔ b² = a.c

Como queríamos demonstrar.

Exemplos:

Considere a P.G. (2, 4, 8)

Note que 4² = 2.8

Essa é uma importante propriedade que pode ser estendida. Em geral, uma sequência de termos não nulos quaisquer será um P.G. se, e somente se, o quadrado de todo termo que possui antecessor e sucessor, for igual ao produto entre o seu antecessor e o seu sucessor.

Considere a P.G. (1, 2, 4, 8, 16), de razão 2.

2² = 1.4,

4² = 2.8,

8² = 4.16

2º PROPRIEDADE:

Sejam a_m, a_n, a_j e a_k quatro termos quaisquer de uma P.G. de termos não nulos, com razão q ≠ 0 e |q| ≠ 1. Dessa forma, temos:

a_m . a_n = a_j . a_k se, e somente se, m + n = j + k.

Demonstração:

De fato, seja q a razão da P.G.

a_m . a_n = a_p . a_q ↔

a¹. q^{m – 1}. a¹. q^{m – 1} = a¹.q^{j – 1}. a¹. q^{k – 1}↔

q^{m – 1}. q^{n – 1} = q^{j – 1}. q^{k – 1} ↔

q^{m – 1 + n – 1} = q^{j – 1 + k – 1} ↔

m – 1 + n – 1 = j – 1 + k – 1 ↔

m + n – 2 = j + k – 2 ↔

m + n = j + k

Como queríamos demonstrar.

Exemplo:

Considere a P.G. (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256,…)

Note que a₁.a₅ = 1.16 = 16 e a₂.a₄ = 2.8 = 16, sendo assim, a₁.a₅ = a₂.a₄

Da mesma forma, a₃.a₈ = 4.128 = 512 e a₅.a₆ = 16.32 = 512, sendo assim, a₃.a₈ = a₅.a_6,

Observação:

A partir das propriedades 1 e 2, obtemos dois resultados muito importantes relativos as Progressões Geométricas.

1. Em toda P.G. finita, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos.

2. Em toda P.G. finita, com número ímpar de termos, o quadrado do termo central é igual ao produto dos extremos (ou de dois termos equidistantes dos extremos).

Exemplos:

Considere a P.G. a seguir, que possui uma quantidade ímpar de termos.

Note que, o produto dos termos equidistantes dos extremos é sempre 256.

2.128 = 256

4.64 = 256

8.32 = 256

Além disso, note que o termo central é 16. E temos 16² = 256.