QUADRILÁTEROS

Todo polígono que possui quatro lados é chamado de quadrilátero.

Elementos:

Possuem sempre 2 diagonais

A soma dos ângulos internos e externos vale sempre 360°.

QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS

1) Paralelogramo

É o quadrilátero que possui os lados opostos paralelos.

Propriedades.

Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes

Os ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares

As diagonais de um paralelogramo se cortam no ponto médio.

*Paralelogramos notáveis

A) Losango – é o paralelogramo que possui todos os lados iguais. (equilátero)

Propriedade: As diagonais de um losango são bissetrizes.

B) Retângulo – é o paralelogramo que possui todos os ângulos iguais. (equiângulo)

Propriedade: As diagonais de um retângulo são congruentes.

C) Quadrado – é o paralelogramo que possui todos os lados e ângulos congruentes. (equilátero e equiângulo)

Observação

O quadrado é um retângulo e simultaneamente um losango.

2) Trapézio

É o quadrilátero convexo que possui dois de seus lados paralelos.

Os lados paralelos são as bases do trapézio.

Classificação:

A) Trapézio escaleno: possui os dois lados não paralelos diferentes.

B) Trapézio isósceles: possui os dois lados não paralelos iguais.

Propriedade:

Os ângulos de cada base são congruentes e as diagonais também.

C) Trapézio retângulo: um dos lados não paralelos é perpendicular as bases.

D) Base média do trapézio:

É um segmento que tem extremidades nos pontos médios dos lados não paralelos.

E) Mediana de Euler:

É um segmento de reta que tem extremidades nos pontos médios das diagonais do trapézio.

RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO

ELEMENTOS DO TRIÂNGULO RETÂNGULO

BC = hipotenusa (medida a)

AC = cateto (medida b)

AB = cateto (medida c)

BH = projeção do cateto AB sobre a hipotenusa (medida m)

CH = projeção do cateto AC sobre a hipotenusa (medida n)

AH = altura relativa à hipotenusa (medida h)

RELAÇÕES MÉTRICAS

A altura relativa a hipotenusa de um triangulo retângulo ABC o divide em dois triângulos retângulos semelhantes a ele e semelhantes entre si.

Como os três triângulos têm todos os ângulos congruentes, pelo 1°caso de semelhança temos que:

~~

Da semelhança entre ΔABC e ΔDBA segue que

c² = am (1)

Da semelhança entre e segue que

Ah = bc (2)

e b² = na (3)

Da semelhança entre ΔDBA e ΔDAC segue que

h² = mn (4)

Agora, somando (1) e (3) encontraremos o teorema de Pitágoras, veja:

CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA 

Quando somamos todos os lados de uma figura plana iremos obter o seu perímetro, no caso específico do círculo, o cálculo do seu perímetro é dado pelo comprimento da circunferência (contorno do círculo), pois um círculo é contornado por uma circunferência.

Iremos estipular: c como sendo o comprimento, r sendo o raio da circunferência. Como todas as circunferências são semelhantes entre si, ou seja, todas pertencem ao mesmo centro foi concluído que a razão entre os comprimentos de qualquer circunferência pelo seu respectivo diâmetro será sempre uma mesma constante.

Exercícios resolvidos.

1) Qual é o comprimento da uma circunferência de raio 2cm?

Solução:

2) Uma roda gigante tem 8 m de raio, quanto percorrerá uma pessoa que der 6 voltas na roda gigante?

Solução:

A pessoa percorrera 6 vezes o comprimento da circunferência que é de C = 2pR, C = 2p8 = 16p

Logo , 6.C = 6.16π = 96π metros.

3) Qual é o raio de uma circunferência de perímetro igual a 18 π cm?

Solução:

18p = 2p R

R = 9cm

RELAÇÕES MÉTRICAS NO CÍRCULO

Consideremos duas retas secantes a uma mesma circunferência que se interceptam em um ponto P localizado fora da circunferência.

Se uma das retas passa pelos pontos A e B e a outra reta passa pelos pontos C e D da circunferência, então o produto da medida do segmento secante PA pela medida da sua parte exterior PB é igual ao produto da medida do segmento secante PC pela medida da sua parte exterior PD.

(PA).(PB)=(PC).(PD)

Secante e tangente interceptando fora da circunferência: Se uma reta secante e uma reta tangente a uma mesma circunferência se interceptam em um ponto P fora da circunferência, a reta secante passando pelos pontos A e B e a reta tangente passando pelo ponto T de tangência à circunferência, então o quadrado da medida do segmento tangente PT é igual ao produto da medida do segmento secante PA pela medida da sua parte exterior PB.

(PT)² = (PA).(PB)

Cordas interceptando num ponto P interno à circunferência: Consideremos a figura abaixo com as cordas AB e CD tendo interseção no ponto P. Então o produto dos segmentos de uma corda é igual ao produto dos segmentos da outra corda.

Desse modo,

(PD) . (PC) = (PA) . (PB)

Exercícios resolvidos.

1) Determine x:

Solução:

2) Determine x:

Solução:

O segmento que falta é

3) Determine x:

Solução:

PE = parte externa S = secante

1ª secante  PE = 6; S = x + 6

2ª secante  PE = 5; S = x + 8

ÁREAS DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS

ÁREAS DE POLÍGONOS

A) Retângulo:

B) Quadrado:

C) Paralelogramo:

D) Triângulo:

Areas especiais do triângulo:

Em função dos Lados:

, onde p é o semi-perimetro:

Em função dos lados e do raio R da circunferência inscrita:

, onde p é o semi-perimetro.

Em função dos lados e do seno do ângulo compreendido:

Em função dos lados e do raio da circunferência circunscrita:

E) Trapézio:

F) Losango:

G) Polígono Regular:

Separando o polígono regular de n lados em triângulos, teremos n triangulo e cada um terá área igual a , onde s é o lado do polígono e a é o apótema.

Portanto a área total é dada por: 

Exemplos:

1) Determine o lado de um quadrado, sabendo que, se aumentarmos seu lado em 2 cm sua área aumenta em 36 cm^2.

Solução:

Considere um quadrado de lado x, sua área será x²

Aumentando seu lado em 2 sua área será: (x + 2)² e será também x² + 36.

Logo, (x+2)² = x² + 36

x² + 4x + 4 = x² + 36

4x = 32

x = 8

2) Determine a área de um losango, sendo 120 cm o seu perímetro e 36cm a medida de sua diagonal menor.

Solução:

O losango é um polígono equilátero, dessa forma, cada lado mede 30 cm.

Então, a área do losango é formada por dois triângulos de lados, 30, 30 e 36.

Área do triangulo = 432

Área do Losango = 864