Geometria Plana – Quadriláteros

QUADRILÁTEROS

Já vimos anteriormente que o quadrilátero é um polígono com quatro lados.  e  são diagonais e 

Nosso objetivo nesse momento é explorar alguns quadriláteros notáveis.

PARALELOGRAMO

Paralelogramo é o quadrilátero que possui os lados opostos paralelos.

Com isso, ele terá algumas propriedades especiais:

• Ângulos opostos sempre serão congruentes. Na figura,  

• Dois ângulos consecutivos sempre serão suplementares. Assim, na figura observa-se que . 

• Lados opostos sempre serão congruentes. Na figura,

• As diagonais cortam-se em seus pontos médios. Na figura,

TIPOS DE PARALELOGRAMOS

Retângulo

O retângulo é um paralelogramo que possui os quatro ângulos retos.

Com isso, além dele possuir todas propriedades do paralelogramo, no retângulo todas as diagonais possuem a mesma medida.

Losango

O losango é um paralelogramo que possui os quatro lados congruentes.

Com isso, além dele possuir todas propriedades do paralelogramo, no losango as diagonais são perpendiculares e são bissetrizes dos ângulos internos.

Quadrado

O quadrado é um paralelogramo que é ao mesmo tempo um retângulo e um losango. Dessa forma, o quadrado possui todas as propriedades de um paralelogramo e de um losango.

TRAPÉZIO

O trapézio é um quadrilátero que possui exatamente um par de lados paralelos. Esses lados são chamados de base maior e base menor.

Com isso, na figura:

 é a base maior,  é a base menor, . 

TIPOS DE TRAPÉZIO

Trapézio Isósceles

O trapézio isósceles possui os lados não paralelos congruentes.

Com isso, na figura:

• As diagonais serão sempre congruentes, isto é, .

• Os ângulos da base maior serão congruentes entre si, isto é, .

• Os ângulos adjacentes a base menor também serão congruentes entre si, isto é, .

Exemplo:

01. Na figura, ABCD é um trapézio isósceles,   são respectivamente bissetrizes dos ângulos .

Calcule a medida do ângulo .

Resolução:

Como o trapézio é isósceles seus ângulos  e  são congruentes.

Como a soma dos ângulos internos de um triangulo vale 180˚ e o triângulo ∆BIC é isósceles descobrimos que , dessa forma, os ângulos internos  e  valerão 60° cada. Como no trapézio os ângulos apoiados sobre uma mesma transversal são suplementares temos que o ângulo procurado  mede 120°.

Trapézio Retângulo

O trapézio retângulo possui exatamente dois ângulos retos.

Trapézio Escaleno

Quando os lados não paralelos não são congruentes chamamos o trapézio de escaleno.

BASE MÉDIA DO TRAPÉZIO

A base média de um trapézio é o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos. Na figura a base média é MN.

A base média é paralela as bases do Trapézio, isto é, .

A base média do Trapézio é a média aritmética das bases, isto é, .

Mediana de Euler

É o segmento que une os pontos médios das diagonais. Esse segmento é paralelo às bases e pode ser calculado a partir da semi-diferença das bases.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 

01. No desenho anterior, observe  que  é uma parte de . Calcularemos .

Note que  e  são congruentes e valem a metade de  (use base média do triângulo).

Dessa forma, temos que  .

02. é um trapézio de diagonais  e , suas bases são  e , com . Sabe-se que  e que as bissetrizes internas de   e  cortam-se em um ponto I de modo que . Dessa forma, determine a medida do ângulo .

Resolução 

A soma dos ângulos internos do triangulo ∆BIC é 180°. Já conhecemos dois de seus ângulos: (metade do ângulo B) e (dado no enunciado), dessa forma, é fácil perceber que o ângulo .

Assim, concluímos que o ângulo  e por conseguinte que o ângulo pedido
pois é suplemento do ângulo .