Função do 1° Grau – Equações e Gráficos

FUNÇÃO IDENTIDADE

É a função real f(x)=x

A imagem de qualquer x do domínio, é o próprio x. Assim, Im(f) = ℝ. 

O gráfico é a reta bissetriz dos quadrantes 1 e 3 do plano cartesiano.

FUNÇÃO LINEAR

É toda função real do tipo f(x)=ax, com a ∈ ℝ.

O gráfico é sempre é uma reta não vertical que passa pela origem.

A função linear é um caso particular da função polinomial do 1º grau, que será nosso próximo ponto de estudo. Lá faremos várias observações sobre o gráfico dessas funções que serão válidas aqui também.

FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU

É toda função f: ℝ → ℝ tal que f(x) = ax + b, com a ∈ ℝ* e b ∈ ℝ.

Exemplo:

f(x) = 3x + 5

y = 2x – 1

y = x – 4

• Domínio = ℝ

• Contradomínio = Imagem = ℝ 

COEFICIENTES

Dada uma função do tipo y = ax + b, chamamos:

Coeficiente angular (A)

É responsável pela declividade da reta.

O coeficiente angular é a tangente do argumento.

O argumento é o ângulo formado, no sentido anti-horário, a partir do eixo das abscissas em direção a reta da função.

Coeficiente linear (B)

O coeficiente linear nos indica a intersecção da reta com o eixo y.

f(x) = ax + b

Se x = 0, temos que:

f(x) = a (0) + b

f(x) = b

Logo o ponto é (0,b)

ZERO (RAIZ) DA FUNÇÃO

O zero ou raiz da função é o valor de x que anula a função e graficamente representa a intersecção da reta com o eixo x, já que encontramos esse valor igualando a mesma a zero (0), ou seja f(x) = 0.

Exemplo:

f(x) = ax + b → y = 0
ax + b = 0
ax = –b

x =

Exemplo:

Determine o zero da função f(x) = 2x – 6
2x – 6 = 0
2x = 6
x = 3
Ponto de intersecção do gráfico com o eixo x é o ponto (3, 0)

GRÁFICO

Como o gráfico de uma função do 1^o grau é sempre uma reta, basta que tenhamos apenas dois pontos para fazê-lo.

Exemplo 1:

Esboce o gráfico da função f(x) = 2x – 2

Podemos utilizar dois métodos:

1. Por tabela de valores

f(2) = 2(2) – 2 f(2) = 2

f(4) = 2(4) – 2 f(4) = 6

2. Por coeficiente e zero da função

y = 2x – 2 → passa pelo ponto (0, -2) → coef. linear 

2x – 2 = 0

2x = 2 → passa pelo ponto (1, 0) 

x = 1

↓

zero da função

Exemplo 2:
Escreva a função f(x) = ax +b, cujo gráfico no sistema cartesiano é representado abaixo.

A função passa pelos pontos (2, 1) e (–1, 4) logo f(2) = 1 e f(–1) = 4, então:

f(x) = ax + b         f(x) = ax + b           2a + b = 1

f(2) = 1                   f(–1) = 4                –a + b = 4 (-1)

2a + b = 1             –a + b = 4                  3a = –3

a = -1

2(–1) + b = 1
–2 + b = 1
b = 3

Logo, a função é expressa por f(x) = –x + 3.

OBSERVAÇÃO

Podemos usar um terceiro método que será explorado com mais detalhes ao final do curso pois faz parte do estudo da Geometria Analítica. Observe no exemplo abaixo sua aplicação.

Observe:

Exemplo 3:

Escreva a função f(x) = ax + b, cujo gráfico no sistema cartesiano é representado abaixo.

A função passa pelos pontos (2, 1) e (–1, 4) logo f(2) = 1 e f(–1) = 4, então:

|x y 1 |
| 2 1 1 | = 0
| -1 4 1|

– 2y +1 –4x +x +8 – y = 0
3y = -3x + 9
y = – x + 3
f(x) = – x + 3