Representamos os ângulos por letras maiúsculas: A, B e C.

As medidas dos lados por letras minúsculas: a, b e c.

Todo triângulo é formado por esses seis elementos, que são chamados de elementos principais e um elemento secundário que é a área.

Resolver um triangulo é determinar os seus seis elementos principais por meio dos elementos conhecidos.

Neste capítulo estudaremos a Lei dos senos. 

LEI DOS SENOS

Demonstração:

1º caso: Triângulos acutângulos

O triangulo ABC abaixo está inscrito numa circunferência de raio R.

Considere um ponto D sobre a circunferência que circunscreve o triângulo, de tal modo que BD  é um diâmetro, como na figura.

Traçamos o diâmetro . Observe que o ângulo  ( e  são ângulos inscritos sob o mesmo arco). Note que o triângulo é retângulo (pois está inscrito numa semicircunferência) e sua hipotenusa é o diâmetro .

No triangulo retângulo , temos:

Traçamos o diâmetro . Observe que o ângulo  ( e  são ângulos inscritos sob o mesmo arco). Note que o triângulo é retângulo (pois está inscrito numa semicircunferência) e sua hipotenusa é o diâmetro .

No triângulo retângulo , temos:

Traçamos o diâmetro . Observe que o ângulo  ( e  são ângulos inscritos sob o mesmo arco). Note que o triângulo ABF é retângulo (pois está inscrito numa semicircunferência) e sua hipotenusa é o diâmetro AF.

No triângulo retângulo ABF, temos:

Assim, concluímos que 

Daí a lei dos senos:

Num triângulo qualquer, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos. A razão de proporção é igual ao diâmetro da circunferência ao qual o triangulo está inscrito.

2° caso: Triângulos obtusângulos

Para completar a demonstração devemos fazer procedimento análogo ao feito no triangulo acutângulo.

A demonstração deixaremos a cargo do leitor.

Exemplos:

1. Na instalação das lâmpadas de uma praça de alimentação, a equipe necessitou calcular corretamente a distância entre duas delas, colocadas nos vértices B e C do triângulo, segundo a figura. Assim, a distância “d” é:

A) 

B) 

C)

D)

E)

Resolução:

Aplicando a Lei dos Senos teremos:

2. A figura a seguir apresenta o delta do rio Jacuí, situado na região metropolitana de Porto Alegre. Nele se encontra o parque estadual Delta do Jacuí, importante parque de preservação ambiental. Sua proximidade com a região metropolitana torna-o suscetível aos impactos ambientais causados pela atividade humana.

^{http://maps.google.com.br}

A distância do ponto B ao ponto C é de 8 km, o ângulo mede 45° e o ângulo mede 75°. Uma maneira de estimar quanto do Delta do Jacuí está sob influência do meio urbano é dada pela distância do ponto A ao ponto C. Essa distância, em km, é:

Resolução:

Como a soma dos ângulos internos de um triangulo vale sempre 180˚, podemos calcular o terceiro ângulo do triangulo dado:

Aplicando a Lei dos senos, temos:

Racionalizando, vem: