Geometria Analítica – Retas

ESTUDO DA RETA

EQUAÇÃO GERAL DA RETA

Seja a reta r definida pelos pontos A(xA,yA) e B(xB,yB). Todo ponto P(x,y), pertencente a reta r, deve estar alinhado com A e B.

Logo, desenvolvendo-se o determinante:

 = 0 

(y_A – y_B) x + (x_B – x_A)y + x_A y_B y_A = 0

Podemos escrever ax + by + c = 0, onde:

 , sendo a ≠ 0 e b ≠ 0.

EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA

Dada uma reta r de equação ax + by + c = 0, sua equação reduzida é obtida isolando-se y como mostra o exemplo abaixo.

Fazendo  e  teremos:

Onde:

• m é chamado de coeficiente angular e n é chamado de coeficiente linear.

COEFICIENTE ANGULAR (M)

O coeficiente angular é responsável pela declividade da reta, pois é igual a tangente do ângulo de inclinação.

m = tg θ ou ainda

Observação

Para descobrir a equação da reta que passa por um ponto P(xᵖ, yᵖ) dado e coeficiente angular m co-nhecido usamos a fórmula:

y – yᵖ = m (x – xᵖ)

COEFICIENTE LINEAR (N)

O coeficiente linear é o responsável por nos mostrar a interseção da reta com o eixo y.

y = mx + n

y = n  eixo y → x = 0

Logo, o ponto é (0,n)

EQUAÇÕES SEGMENTÁRIAS

Consideremos uma reta r que não passa pelo ponto (0,0), intercepta o eixo x no ponto A (a,0) e o eixo y no ponto (0,b).

Vamos agora encontrar a equação reduzida da reta acima.

Calculando o coeficiente angular, teremos:

Utilizando a forma reduzida y = mx + n em que  m = e n = b chegaremos a:

Dividindo os dois membros por ab (x ≠ 0 e y ≠ 0), encontraremos:

Observação

Podemos chegar ao mesmo resultado considerando um ponto qualquer P(x,y) e fazendo:

Esta é a forma segmentária da equação da reta que não passa por (0,0) e intercepta os eixos nos pontos (a,0) e (0,b).

Exemplo:

A forma segmentária da equação da reta que corta os eixos nos pontos (2,0) e (0,-3) é:

A reta cuja equação segmentária é  corta os eixos nos pontos (-4,0) e (0,3).

Se y = 2x – 3 é a equação reduzida da reta podemos chegar a forma segmentária da seguinte forma:

y = 2x – 3 → 2x – y = 3 → 2x/3 – y/3 = 3/3 → 2x/3 + y/-3 = 1 → x/3/ + y/-3 = 1 

Equação segmentária da reta que passa nos pontos (, 0) e (0, 3).

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS

São estabelecidas duas equações em função de outra variável. Observe abaixo:

Exemplo:

Dada a reta 2x + 3y – 6 = 0, vamos encontrar as suas equações paramétricas.

2x = 6 – 3y

x = 3 – Y

X = 3 (1 –  = t, temos que: 

x = 3t e y = 2 – 2t

que são chamadas de equações paramétricas de r.

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS

PARALELAS

Análise Vetorial:

Se duas retas são paralelas, então os vetores normais são paralelos. Logo:   

Observação

Caso os coeficientes lineares sejam iguais, as retas serão coincidentes.

PERPENDICULARES

ou ainda

Análise Vetorial:

Se duas retas são perpendiculares, então os vetores normais são perpendiculares.

ÂNGULO FORMADO POR DUAS RETAS

Caso q seja agudo:

Observação

Análise vetorial:

O ângulo entre duas retas pode ser calculado utilizando-se os vetores normais da seguinte forma:

Exemplo:

Calcule o ângulo formado pelos vetores  e .

DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA

Seja a reta r de equação ax + by + c = 0 e o ponto P(x_P, y_P). A distância entre a reta r e o ponto P é dada por: