CONCEITO DE EQUAÇÃO BIQUADRADA
ax4 + bx2 + c = 0, sendo a, b e c números reais e a ≠ 0.
Observe abaixo alguns exemplos:
a. x4 – 12x2 + 20 = 0
b. 2x4 + 41x2 + 12 = 0
c. x4 – 64x2 = 0
d. 16x4 – 625 = 0
Note que a equação biquadrada é uma equação do 4º grau e, que os expoentes da variável são números pares.
1. Resolvendo uma equação biquadrada
Para resolver uma equação biquadrada , usaremos uma substituição (que chamaremos de variável auxiliar).
Dada a equação ax4 + bx2 + c = 0, podemos reescrevê-la na seguinte forma:
a(x2)2 + bx2 + c = 0
Observe que podemos substituir x2 por y e, dessa forma, temos:
ay2 + by + c = 0
E cada valor positivo de y nessa equação dará origem a outras duas raízes da equação original (ax4 + bx2 + c = 0).
Observe abaixo alguns exemplos de resoluções de equações biquadradas, em R:
a. x4 – 7x2 + 12 = 0
(x2)2 – 7x2 + 12 = 0
Fazendo x2 = y, vem:
y2 – 7y + 12 = 0
Como y = x2, temos que:
Logo,
b. x4 – 6x2 – 27 = 0
(x2)2 – 6x2 – 27 = 0
Fazendo x2 = y, vem:
y2 – 6y – 27 = 0
Que não está definido no conjunto dos números reais
Logo,
Curiosidade:
Outras equações podem ser resolvidas utilizando o artifício da troca de variáveis. Entre elas, temos as equações do tipo ax2n + bxn + c = 0. Nota-se que para estes casos a substituição a ser feita é bastante semelhante ao que fazemos nas equações biquadradas pois a(xn)2 + bxn + c = 0.
Fazendo y = xn retornamos a uma equação do 2˚ grau.
Exemplo:
x6 – 9x3 + 8 = 0
Conceito de equação racional
A equação racional (ou fracionária) é especial em relação as demais equações pois pelo menos um dos seus termos é uma fração algébrica, isto é, a incógnita aparece no denominador de uma fração.
Lembre-se que em uma fração o denominador não poderá ser nulo. Assim, ao resolvermos uma equação racional, não podemos nos esquecer de observar a condição de existência dos denominadores pois para alguns valores da incógnita a equação não está definida.
Observe alguns exemplos:
Resolvendo uma equação racional
Para resolver uma equação racional devemos seguir os passos seguintes:
1º) Observar as restrições no domínio (valores que a incógnita não poderá assumir)
2º) Igualar os denominadores de todos os termos (fazer o MMC entre os polinômios)
3º) Eliminar os denominadores e resolver a equação normalmente
4º) Verificar o conjunto solução
Exemplo:
Solução:
Note que as restrições no domínio são x ≠ 2 e x ≠ -2 pois esses são os valores que zeram os denominadores.
O segundo passo é igualar os denominadores.
Dessa forma temos:
Eliminando os denominadores, temos:
Agora basta resolvermos normalmente a equação.
Como nenhum dos dois valores está descriminado na restrição, temos que:
Conceito de equação irracional
Chama-se de irracional toda equação que tem variável sob um radical.
Observe abaixo alguns exemplos:
Resolvendo uma equação irracional
O método que utilizamos para resolver uma equação irracional é bastante simples: devemos elevar os dois membros a uma potência conveniente (as vezes mais de uma vez) a fim de transformá-la numa equação racional.
É importante perceber que a equação obtida nem sempre é equivalente a equação original. Por isso, se faz necessária a verificação entre as soluções encontradas para identificarmos as que são, de fato, verdadeiras.
Observe abaixo alguns exemplos:
Inicialemente, devemos isolar o radical:
Elevamos ao quadrado, ambos os membros:
Resolvendo, temos:
Verificação:
Fazendo x=8:
Logo, x=8 é uma solução da equação.
Fazendo x=1
Logo, x=1 não é uma solução da equação.
Portanto, o conjunto solução dessa equação é V = {8}.
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